题目内容
设a＞0，且a≠1，f（x）=
．
（1）求值：f（0）+f（1），f（-1）+f（2）；
（2）由（1）的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明；
（3）若n∈N*，求和：f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）．
| 1 | ||
3x+
|
（1）求值：f（0）+f（1），f（-1）+f（2）；
（2）由（1）的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明；
（3）若n∈N*，求和：f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）．
考点：数学归纳法,函数的值
专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法
分析：（1）利用f（x）=
，代入计算，即可求值：f（0）+f（1），f（-1）+f（2）；
（2）由（1）归纳得到对一切实数x，有f（x）+f（1-x）=
，再利用条件进行证明即可；
（3）倒序，利用（2）的结论即可求和：f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）．
| 1 | ||
3x+
|
（2）由（1）归纳得到对一切实数x，有f（x）+f（1-x）=
| ||
| 3 |
（3）倒序，利用（2）的结论即可求和：f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100）．
解答：
解：（1）f（0）+f（1）=
+
=
=
，
f（-1）+f（2）=
+
=
=
.2分
（2）由（1）归纳得到对一切实数x，有f（x）+f（1-x）=
.4分
证明：f（x）+f（1-x）=
+
=
+
=
=
=
.7分
（3）设S=f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100），
又S=f（100）+f（99）+…+f（1）+f（0）+f（-1）+…+f（-99），
两式相加，得（由（2）的结论）2S=200×
，
∴S=
.12分．
| 1 | ||
1+
|
| 1 | ||
3+
|
| 1 | ||
|
| ||
| 3 |
f（-1）+f（2）=
| 1 | ||
3-1+
|
| 1 | ||
32+
|
| 1 | ||
|
| ||
| 3 |
（2）由（1）归纳得到对一切实数x，有f（x）+f（1-x）=
| ||
| 3 |
证明：f（x）+f（1-x）=
| 1 | ||
3x+
|
| 1 | ||
31-x+
|
| 1 | ||
3x+
|
| 3x | ||||
|
| ||||
|
| 1 | ||
|
| ||
| 3 |
（3）设S=f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100），
又S=f（100）+f（99）+…+f（1）+f（0）+f（-1）+…+f（-99），
两式相加，得（由（2）的结论）2S=200×
| ||
| 3 |
∴S=
100
| ||
| 3 |
点评：本题考查求函数的值，考查倒序相加法，考查学生的计算能力，属于中档题．
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阶梯计算系列答案
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