Question

15．已知△ABC的面积为10，P是△ABC所在平面上的一点，满足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+2$\overrightarrow{PC}$=3$\overrightarrow{AB}$，则△ABP的面积为5．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{AB}$可以得到$4\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{CB}$，从而$\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，这便得到PA∥CB，且$PA=\frac{1}{2}CB$，从而△ABP的面积是△ABC面积的一半，这便可得出△ABP的面积．

解答 解：如图，

根据条件，$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=3\overrightarrow{PB}-3\overrightarrow{PA}$；
∴$4\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PB}-2\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{CB}$；
∴$\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$；
∴PA∥CB，且PA=$\frac{1}{2}CB$；
∴${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=5$．
故答案为：5．

点评 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及共线向量基本定理，三角形的面积公式．