Question

5．已知实数x、y满足2x²+4xy+2y²+x²y²≤9，求u=2$\sqrt{2}$（x+y）+xy的最大值与最小值．

Answer 1

分析 化简可得2（x+y）²+x²y²≤9，从而令x+y=w，xy=v，从而得到2w²+v²≤9，u=2$\sqrt{2}$w+v，w=-$\frac{v}{2\sqrt{2}}$+$\frac{u}{2\sqrt{2}}$，从而利用数形结合的思想求解即可．

解答 解：∵2x²+4xy+2y²+x²y²≤9，
∴2（x+y）²+x²y²≤9，
令x+y=w，xy=v，
则2w²+v²≤9，
即$\frac{{w}^{2}}{4.5}$+$\frac{{v}^{2}}{9}$≤1，
u=2$\sqrt{2}$（x+y）+xy=2$\sqrt{2}$w+v，
∴w=-$\frac{v}{2\sqrt{2}}$+$\frac{u}{2\sqrt{2}}$，
作图如下，
，
由$\left\{\begin{array}{l}{2{w}^{2}+{v}^{2}=9}\\{w=-\frac{\sqrt{2}}{4}v+\frac{\sqrt{2}}{4}u}\end{array}\right.$有且只有一个解知，
即5v²-2uv+u²-36=0只有一个解，
故△=4u²-4×5×（u²-36）=0，
从而解得，u=3$\sqrt{5}$或u=-3$\sqrt{5}$；
故u=2$\sqrt{2}$（x+y）+xy的最大值为3$\sqrt{5}$，最小值为-3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了圆锥曲线的应用及数形结合的思想应用．