Question

19．已知A（0，a），B（0，b），（0＜a＜b），在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大角的余弦值．

Answer 1

分析 根据题目所给的条件，用直线和圆的位置关系，确定点的位置，由正弦定理得，当圆与X轴相切时，要求的角最大，写出角的正切值，不是特殊角，用反三角函数来表示．

解答 解：设点C的坐标是（x，0），在三角形ABC中，根据正弦定理知：
sin∠ACB=$\frac{b-a}{2R}$，其中R是三角形ABC外接圆的半径．
故当R最小时，角∠ACB最大．
在过A与B定点的圆中当且仅当C是圆与x轴相切时，半径最小，
∴切点C即为所求，由切割线定理知OC²=OA•OB=ab，
∴OC=$\sqrt{ab}$，即点C坐标为（$\sqrt{ab}$，0）时，K_AC=$\frac{a-0}{0-\sqrt{ab}}$=-$\frac{a}{\sqrt{ab}}$=-$\sqrt{\frac{a}{b}}$，K_BC=$\frac{b-0}{0-\sqrt{ab}}$=-$\sqrt{\frac{b}{a}}$，
∠ACB可以认为是直线BC到直线AC的角，tan∠ACB=$\frac{{K}_{AC}{-K}_{BC}}{1{+K}_{AC}{•K}_{BC}}$=$\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}$，
即∠ACB=arctan$\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}$．

点评 认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化，属于中档题．