Question

已知f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，θ∈R．
（1）对任意m∈R，求f（θ）的最大值g（m）；
（2）若cos²θ+2msinθ-2m-2＜0对于任意θ∈R恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）首先对函数关系式进性恒等变换，把函数关系式变形成二次函数的形式，进一步对m的范围进行讨论，利用不同的m的求出函数的值．
（2）利用（1）的结论，要使函数的关系式恒成立只需满足函数的最大值大于0即可，进一步确定m的取值范围．

解答： 解：（1）f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2
=-（sinθ-m）²+m²-2m-1．
①当-1＜m＜1时，函数f（θ）_max=m²-2m-1，
即：g（m）=m²-2m-1；
②当m≥1时，f(θ)max=-(1-m)2+m2-2m-1，
即：g（m）=-2；
③当m≤-1时，f(θ)max=-(-1-m)2+m2-2m-1，
即：g（m）=-4m-2；
综上所述：g(m)=

m2-2m-1(-1＜m＜1) -2(m≥1) -4m-2(m≤-1)

．
（2）由（1）得：g(m)=

m2-2m-1(-1＜m＜1) -2(m≥1) -4m-2(m≤-1)

，
若cos²θ+2msinθ-2m-2＜0对于任意θ∈R恒成立，只需满足恒成立即可．
即：g（m）_max＜0，
①当-1＜m＜1时，m²-2m-1＜0，
解得：1-

2

＜m＜1；
②当m≥1时，-2＜0恒成立；
③当m≤-1时，-4m-2＜0，
解得：m＞-

1

2

，出现矛盾；
则：m的范围为：(1-

2

，+∞)．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，分来讨论思想的应用，分段函数的应用，分离参数法的应用，属于基础题型．