Question

7．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
（1）求直线l的普通方程和曲线C的参数方程；
（2）若点M在曲线C上运动，试求出M到直线l的距离的范围．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．由曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，令x=2cosθ，y=sinθ，可得参数方程．
（2）设M（2cosθ，sinθ），可得点M到直线l的距离d=$\frac{4-2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}{\sqrt{5}}$，利用三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y-4=0．
由曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，令x=2cosθ，y=sinθ，可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（2）设M（2cosθ，sinθ），
∴点M到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ+2sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4-2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}{\sqrt{5}}$∈$[\frac{（4-2\sqrt{2}）\sqrt{5}}{5}，\frac{（4+2\sqrt{2}）\sqrt{5}}{5}]$．

点评 本题考查了参数方程的应用、三角函数的单调性值域与和差公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．