Question

已知函数f（x）=x²+bx，g（x）=ax³-3bx-4a+b，其中a＞0，b∈R，
（1）证明：当0≤x≤2时，函数g（x）的最大值为|4a-3b|-2b；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[-2，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤16，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,分段函数的应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数：g′（x），g（0），g（2），讨论b≤0，b＞0①b≥4a，②b＜4a再分4a≥3b，4a＜3b，求出最大值即可判断；
（2）对任意的x₁，x₂∈[-2，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤16等价为16≥f（x）_max-f（x）_min，讨论对称轴x=-

b

2

与区间[-2，2]的关系，运用单调性即可求出最值，即可得到b的取值范围．

解答： （1）证明：g′（x）=3ax²-3b（a＞0），g（0）=b-4a，g（2）=8a-6b-4a+b=4a-5b，
若b≤0，则g′（x）＞0，g（x）在[0，2]递增，g（2）最大，且为4a-5b，即为|4a-3b|-2b；
若b＞0，则g′（x）=0，x²=

b

a

，
①

b a

≥2，即b≥4a，[0，2]递减，g（0）最大，且为b-4a，也为|4a-3b|-2b；
②

b a

＜2，即b＜4a，由于g（2）-g（0）=2（4a-3b），
若4a≥3b，则g（2）最大，且为4a-5b，即为|4a-3b|-2b；
若4a＜3b，则取g（0）最大，即为b-4a，且为|4a-3b|-2b．
故当0≤x≤2时，函数g（x）的最大值为|4a-3b|-2b．
（2）解：对任意的x₁，x₂∈[-2，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤16等价为
16≥f（x）_max-f（x）_min，
①当-

b

2

∈[-2，2]，f（x）_min=-

b2

4

，f（2）=4+2b，f（-2）=4-2b，
则

0≤b≤4 16≥4+2b+ b2 4

即

-12≤b≤4 0≤b≤4

，即0≤b≤4；
或

-4≤b≤0 16≥4-2b+ b2 4

即

-4≤b≤0 -4≤b≤12

，即-4≤b≤0；
②当-

b

2

＞2，即b＜-4，16≥f（-2）-f（2），即16≥-4b，即有b≥-4，不成立；
③当-

b

2

＜-2，即b＞4，16≥f（2）-f（-2）即16≥4b，b≤4，不成立．
故b的取值范围是[-4，4]．

点评：本题考查函数的导数的综合运用：求单调区间，求极值和最值，同时考查分类讨论的思想方法，以及二次函数在给定区间上的最值，属于中档题．