Question

在菱形ABCD中AC=2，BD=4，将△ACD沿着AC折起，使点D翻折到D′位置，连BD′，直线BD′与平面ABC所成的角为30°，如图所示．
（1）求证AC⊥BD′；
（2）若E为AB中点，过C作平面ABC的垂线l，直线l上是否存在一点F，使EF∥平面AD′C？若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设AC∩BD=O，利用菱形的对角线互相垂直，得到AC⊥平面BOD′，由项目存在的性质得到证明；
（2）由（1）得平面BOD′⊥平面ABC，得到BD′与平面ABC所成的角为∠D′BO=30°，以直线AO，BO所在直线为x，y轴，过点O且垂直与平面AOB的直线为z轴，建立空间直角坐标系，找出平面AD′C的一个法向量，要使EF∥平面AD′C，则需要法向量与EF垂直，借助于向量的数量积求得m．

解答： 解：（1）设AC∩BD=O，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴AC⊥OD′，AC⊥OB，OD′∩OB=O，OD′，OB?平面BOD′，
∴AC⊥平面BOD′，
∴AC⊥BD′；
（2）由（1）得平面BOD′⊥平面ABC，
∴BD′与平面ABC所成的角为∠D′BO，即∠D′BO=30°，
以直线AO，BO所在直线为x，y轴，过点O且垂直与平面AOB的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），E（

1

2

，1，0），
∴

OA

=（1，0，0），

OD′

=（0，-1，

3

），
设F（-1，0，m），

n

=（x，y，z）为平面AD′C的一个法向量，则

n • OA =0 n • OD′ =0

⇒

x=0 y= 3 z

，令z=1，则

n

=（0，

3

，1），
又

EF

=（-

3

2

，-1，m），要使EF∥平面AD′C，则需要

n

•

EF

=(-

3

2

，-1，m)(0，

3

，1)=0⇒m=

3

．
所以存在F，使EF∥平面AD′C，此时CF=

3

．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及运用空间直角坐标系中向量的数量积解决线面角的问题，属于中档题．