Question

6．在△ABC中，AC=5，BC=6，cos（A-B）=$\frac{37}{40}$，则△ABC面积是（　　）

• A． 15
• B． 10$\sqrt{2}$
• C． 12
• D． $\frac{3\sqrt{231}}{4}$

Answer 1

分析 由题意得到∠BAC大于∠B，如图所示，作AD，使∠BAD=∠B，得到∠DAC=∠BAC-∠B，设AD=BD=x，则DC=6-x，在△ADC中，由余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解，得到x的值，确定出AD与DC的长，在三角形ADC中，利用余弦定理即可求出cosC的值，可得sinC的值，从而求得△ABC面积是$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC的值．

解答 解：△ABC中，AC=5，BC=6，cos（A-B）=$\frac{37}{40}$，∴A＞B，A-B为锐角，
作AD，使∠BAD=∠B，D∈BC，则∠DAC=∠BAC-∠B，
即cos∠DAC=cos（∠BAC-∠B）=$\frac{37}{40}$，
设AD=BD=x，则DC=6-x，
在△ADC中，由余弦定理得：CD²=AD²+AC²-2AD•AC•cos∠DAC，
即（6-x）²=x²+25-10x•$\frac{37}{40}$，解得：x=4，
∴AD=4，DC=2，
在△ADC中，由余弦定理得cosC=$\frac{{AC}^{2}{+CD}^{2}{-AD}^{2}}{2AC•CD}$=$\frac{25+4-16}{2•5•2}$=$\frac{13}{20}$，∴sinC=$\sqrt{{1-cos}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{231}}{20}$，
故△ABC面积是$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}$•5•6•$\frac{\sqrt{231}}{20}$=$\frac{3\sqrt{231}}{4}$，
故选：D．

点评 此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．