Question

已知函数f（x）=a-

1

2x-1

，（a∈R）
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）考察f（x）在（0，+∞）上单调性的情况，并用单调性定义证明你的结论．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）解不等式求函数的定义域；
（2）若为奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立，依此列方程求a的值；
（3）先判断，然后利用定义证明即可．

解答： 解：（1）由2^x-1≠0得，x≠0，故函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}；
（2）因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）恒成立，
即a-

1

2-x-1

=-a+

1

2x-1

，即2a=

1-2x

2x-1

=-1，所以a=-

1

2

．
（3）显然，该函数是（0，+∞）上的增函数．
任取0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）
=

1

2x2-1

-

1

2x1-1

=

2x1-2x2

(2x1-1)(2x2-1)

，
因为0＜x₁＜x₂，且函数y=2^x在R上是增函数．]
所以1＜2x1＜2x2，所以2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x1-2x2＜0．
所以原式f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以原函数在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的基本性质奇偶性、单调性．要注意奇偶性的表达式是一个关于自变量的恒等式，而单调性的证明要遵循步骤严格进行．