Question

函数y=

1-x

+1+

1+x

的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，

1-x≥0 1+x≥0

，从而求函数的定义域，再利用换元法令令cos2a=x，0≤a≤

π

2

；从而化简y=

1-x

+1+

1+x

=

1-cos2a

+1+

1+cos2a

=

2

sina+1+

2

cosa
=2sin（a+

π

4

）+1；从而求最值．

解答： 解：由题意，

1-x≥0 1+x≥0

，
故-1≤x≤1；
令cos2a=x，0≤a≤

π

2

；
则函数y=

1-x

+1+

1+x

=

1-cos2a

+1+

1+cos2a

=

2

sina+1+

2

cosa=2sin（a+

π

4

）+1；
∵0≤a≤

π

2

；
∴

π

4

≤a+

π

4

≤

3π

4

；

2

2

≤sin（a+

π

4

）≤1；
故

2

+1≤2sin（a+

π

4

）+1≤3．
故最大值为3，最小值为

2

+1；
故答案为：3，

2

+1．

点评：本题考查了换元法求函数的最值，注意到函数的定义域及函数的表达式，取三角函数换元简化运算，属于中档题．