Question

设斜率为

2

2

的直线l与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设斜率为

2

2

的直线l：y=

2

2

x+t，代入双曲线方程，消去y，由题意可得，方程的两根分别为-c，c．则有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求．

解答： 解：设斜率为

2

2

的直线l：y=

2

2

x+t，
代入双曲线方程，消去y，可得，（b²-

1

2

a²）x²-

2

a²tx-a²t²-a²b²=0，
由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，
则有上式的两根分别为-c，c．
则t=0，即有（b²-

1

2

a²）c²=a²b²，由于b²=c²-a²，
则有2c⁴-5a²c²+2a⁴=0，由e=

c

a

，则2e⁴-5e²+2=0，
解得e²=2（

1

2

舍去），
则e=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．