Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC=1，AA₁=2．AB⊥AC．
D、E分别为AA₁、B₁C的中点．
（1）求DE的长；
（2）证明：DE⊥平面BCC₁；
（3）求二面角D-BC-C₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，求出A，B，C，C₁，B₁，A₁，坐标．
（1）利用D、E分别为AA₁、B₁C的中点，求出坐标，即可求DE的长．
（2）通过计算向量的数量积为0，证明DE⊥BC，DE⊥CC₁，利用直线与平面垂直的判定定理证明DE⊥平面BCC₁．
（3）求出平面DBC的一个法向量，

DE

是平面BCC₁的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角D-BC-C₁的余弦值．

解答： 解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，…（1分）
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C₁（0，1，2），B₁（1，0，2），A₁（0，0，2）…（2分）




（1）∵D、E分别为AA₁、B₁C的中点
∴D(0，0，1)，E(

1

2

，

1

2

，1)
∴

DE

=(

1

2

，

1

2

，0)…（3分）
∴|

DE

|=

( 1 2 )2+( 1 2 )2+02

=

2

2

…（4分）
（2）证明：由已知，得

BC

=(-1，1，0)，

CC1

=(0，0，2)
又∵

DE

•

BC

=

1

2

×(-1)+

1

2

×1+0×0=0

DE

•

CC1

=

1

2

×0+

1

2

×0+0×2=0
∴

DE

⊥

BC

，

DE

⊥

CC1

∴即DE⊥BC，DE⊥CC₁…（7分）
又∵DE?平面BCC₁，CC₁?平面BCC₁，且BC∩CC=C
∴DE⊥平面BCC₁                            …（8分）
（3）由已知得

BD

=(-1，0，1)，设平面DBC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

⊥

BD

，

n

⊥

BC

，∴

n

•

BD

=0，

n

•

BC

=0
∴

-x+z=0 -x+y=0

令z=1，则x=1，y=1，∴

n

=(1，1，1)…（10分）
由（2），知

DE

是平面BCC₁的一个法向量                 …（11分）
又

DE

•

n

=

1

2

×1+

1

2

×1+0×1=1，|

n

|=

12+12+12

=

3

，|

DE

|=

( 1 2 )2+( 1 2 )2+02

=

2

2

∴cos＜

DE

，

n

＞=

DE • n

| DE |•| n |

=

1

2 2 × 3

=

6

3

…（13分）
∴二面角D-BC-C₁的余弦值为

6

3

…（14分）
（取BC的中点F，可证∠DFE是二面角D-BC-C₁的平面角）

点评：本题考查向量在立体几何中的应用，二面角的平面角的求法，直线与直线的垂直，直线与平面的垂直数量积为0的应用．考查空间想象能力以及计算能力．