Question

18．如图所示，在三棱锥A-BCD中，A在平面BCD内的投影恰为BD的中点，CD⊥BD，AD⊥AB，延长DA至P，使DA=AP．
（1）求证：PB⊥平面BCD；
（2）若$BD=CD=\sqrt{2}$，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）由题设知△ABD是等腰直角三角形，且平面ABD⊥平面BCD，又由DA=AP，得△PAB≌△DAB，可得∠PBD=90°，由面面垂直的性质可得PB⊥平面BCD；
（2）取BD的中点O，解直角三角形可得$AO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$PB=\sqrt{2}$，再由V_P-ABC=V_P-BCD-V_A-BCD求得三棱锥P-ABC的体积．

解答 （1）证明：由题设知△ABD是等腰直角三角形，且平面ABD⊥平面BCD，
又由DA=AP，得△PAB≌△DAB，
∴∠PBD=90°，又平面PBD⊥平面BCD，
∴PB⊥平面BCD；
（2）解：取BD的中点O，则$AO=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$PB=\sqrt{2}$，
∴${V_{P-ABC}}={V_{P-BCD}}-{V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}•{S_{△BCD}}•（PB-AO）$=$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．

点评 本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了等积法求多面体的体积，属中档题．