Question

甲、乙、丙、丁四位同学报名参加A、B、C三所高校的自主招生考试，若每位同学只报名其中一所高校，且报名其中任一所高校是等可能的．
（1）求这四位同学中有人报名A的概率；
（2）求三所高校都有人报名的概率；
（3）求这四位同学报名高校的个数ξ的分布列与期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：概率与统计

分析：（1）利用对立事件的概率计算公式结合排列组合知识能求出这四位同学中有人报名A的概率．
（2）利用古典概率计算公式结合排列组合知识能求出三所高校都有人报名的概率．
（3）由题设知这四位同学报名高校的个数ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）这四位同学中有人报名A的概率：
p₁=1-

24

34

=

65

81

．
（2）三所高校都有人报名的概率：
p₂=

C 2 4 • A 3 3

34

=

36

81

．
（3）由题设知这四位同学报名高校的个数ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=

A 1 3

34

=

3

81

，
P（ξ=2）=

C 2 3 •( C 2 4 C 2 2 A 2 2 +C 3 4 C 1 1 ) •A 2 2

34

=

42

81

，
P（ξ=3）=

C 2 4 • A 3 3

34

=

36

81

．
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	3 81	42 81	36 81

Eξ=1×

3

81

+2×

42

81

+3×

36

81

=

195

81

=

65

27

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．