Question

已知函数f（x）=x²-2x+1+a•e^x的两个极值点x₁，x₂，满足x₁＜x₂
（1）x＞2时，比较e^x与x（x-1）的大小；
（2）求a的取值范围；
（3）证明：x₁+x₂＞4．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）令h（x）=e^x-x（x-1），求得导数，运用单调性，即可比较；
（2）求出f（x）的导数，对a讨论，a≥0，a＜0，a＜-2，由单调性，即可得到；
（3）由于x₁，x₂为函数y=-ae^x和直线y=2x-2的交点，且a→-2时，f′（x₁）=f′（x₂）→2，而e^x单调递增，即可得证．

解答： （1）解：令h（x）=e^x-x（x-1），h′（x）=e^x-2x+1，
再令m（x）=h′（x），则m′（x）=e^x-2，当x＞2时，e^x＞2，
则m′（x）＞0，m（x）在x＞2上递增，则m（x）＞m（2），
即有h′（x）＞e²-4+1＞0，
即有h（x）在x＞2上递增，即h（x）＞h（2）=e²-2＞0，
则x＞2时，有e^x＞x（x-1）；
（2）解：f′（x）=2x-2+a•e^x，
由于函数f（x）=x²-2x+1+a•e^x的两个极值点x₁，x₂，
即x₁，x₂是方程f′（x）=0的两根，
若a≥0，则f′（x）单调递增，不可能有两个实根，故a＜0，
当a＜-2时，在x＞0的区域无解．故a的取值范围是：（-2，0）；
（3）证明：由于x₁，x₂为函数y=-ae^x和直线y=2x-2的交点，
且a→-2时，f′（x₁）=f′（x₂）→2，而e^x单调递增，
所以x₂-2＞2-x₁，即有x₁+x₂＞4．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查构造函数运用导数比较大小的思想方法，考查运算和推理能力，属于中档题．