Question

设函数．
（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）a的最小值为;（2）．

试题分析：（1）根据f (x)在上为减函数，得到在上恒成立．转化成时，．
应用导数确定其最大值为．
（2）应用“转化与化归思想”，对命题进行一系列的转化，“若存在使成立”等价于“当时，有”．
由（1）问题等价于：“当时，有”．
讨论①当时，②当<时， ，作出结论.
（1）由已知得x＞0，x≠1．
因f (x)在上为减函数，故在上恒成立．      1分
所以当时，．
又，            2分
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．                  4分
（2）命题“若存在使成立”等价于
“当时，有”．                   5分
由（1），当时，，．
问题等价于：“当时，有”．                  6分
①当时，由（1），在上为减函数，
则=，故．                  8分
②当<时，由于在上的值域为
（ⅰ），即，在恒成立，故在上为增函数，
于是，，矛盾．                 10分
（ⅱ），即，由的单调性和值域知，
存在唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以，，                12分
所以，，与矛盾．         13分
综上，得                              14分