题目内容

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的长轴长为4，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的动直线l交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为7，则b的值为1．

分析 由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8-|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=b2，|BF2|+|AF2|=8-|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于7列式求b的值．

解答 解：由椭圆长轴长为4，则a=2，则0＜b＜2，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8
∴|BF2|+|AF2|=8-|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=b2，∴7=8-b2，
解得b=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆焦点的弦中通径的长最短，属于中档题．

练习册系列答案
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