Question

17．设函数f（x）=a（x²-10x+25）+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；
（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．

解答 解：（1）因f（x）=a（x-5）²+6lnx，故f′（x）=2a（x-5）+$\frac{6}{x}$，（x＞0），
令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6-8a，
则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-16a=（6-8a）（x-1），
由切线与y轴相交于点（0，6）．
可得6-16a=8a-6，
解得a=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{2}$（x-5）²+6lnx，（x＞0），
f′（x）=（x-5）+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$，
令f′（x）=0，得x=2或x=3，
当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，
当2＜x＜3时，f′（x）＜0，
则f（x）在（2，3）上为减函数，
故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=$\frac{9}{2}$+6ln2，
在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．

点评 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．