Question

20．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M、N分别是EF、BC的中点，AB=2AF，∠CBA=60°．
（1）求证：DM⊥平面MNA；
（2）若三棱锥A-DMN的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求点A到平面DMN的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AN⊥DM，DM⊥AM，利用线面垂直的判定定理证明：DM⊥平面MNA；
（2）利用等体积，求出点M到平面ADN的距离，作AH⊥MN交MN于点H，AH为求点A到平面DMN的距离，利用等面积求点A到平面DMN的距离．

解答 证明：（1）连接AC，在菱形ABCD中，
∵∠CBA=60°且AB=AC，
∴△ABC为等边三角形．
∵N是BC的中点，
∴AN⊥BC，AN⊥BC．
∵ABCD⊥平面ADEF，AN?平面ADEF，ABCD∩平面ADEF=AD，
∴AN⊥平面ABEF．
∵DM?平面ADEF，
∴AN⊥DM．
∵矩形ADEF中，AD=2AF，M是的中点，
∴△AMF为等腰直角三角形，
∴∠AMF=45°，
同理可证∠DME=45°，
∴∠DAM=90°，
∴DM⊥AM．
∵AM∩AN=N，AM?平面MNA，AN?平面MNA，
∴DM⊥平面MNA．
解：（2）设AF=x，则AB=2AF=2x，
在Rt△ABN中，AB=2x，BN=x，∠ABN=60°，
∴$AN=\sqrt{3}x$．

∴${S_{△ADN}}=\frac{1}{2}•2x•\sqrt{3}x=\sqrt{3}{x^2}$．
∵ABCD⊥平面ADEF，FA⊥AD，ABCD∩平面ADEF=AD，
∴FA⊥平面ABCD．
设h为点M到平面ADN的距离，则h=FA=x．
∴${V_{M-ADN}}=\frac{1}{3}{V_{△CDF}}•h=\frac{1}{3}•\sqrt{3}{x^2}•x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^3}$，
∵${V_{M-ADN}}={V_{D-AMN}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴x=1．
作AH⊥MN交MN于点H．
∵DM⊥平面MNA，
∴DM⊥AH．
∴AH⊥平面DMN，
即AH为求点A到平面DMN的距离，
∵在Rt△MNA中，$MA=\sqrt{2}$，$AN=\sqrt{3}$，
∴$AH=\frac{{\sqrt{30}}}{5}$．
∴点A到平面DMN的距离为$\frac{{\sqrt{30}}}{5}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质，以及着重考查了棱锥的体积公式，考查空间想象能力、运算能力．