Question

已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log₂（1-x）．
（1）求f（x）及g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意和函数奇偶性得：f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），令x取-x代入f（x）+g（x）=2log₂（1-x）化简后，联立原方程求出f（x）和g（x），由对数的运算化简，由对数函数的性质求出函数的定义域；
（2）设t=1-x²，由-1＜x＜1得0＜t≤1，利用对数函数的性质求出g（x）的值域．

解答： 解：（1）因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
令x取-x代入f（x）+g（x）=2log₂（1-x），①
得f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x），即-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），②
联立①②可得，f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）=

log

1-x 1+x 2

（-1＜x＜1），
g（x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）=log₂（1-x）（1+x）=

log

(1-x2) 2

（-1＜x＜1）；
（2）设t=1-x²，由-1＜x＜1得0＜t≤1，
所以函数y=log₂t的值域是（-∞，0]，
故g（x）的值域是（-∞，0]．

点评：本题考查函数奇偶性的应用，对数函数的性质、运算，以及方程思想和换元法求函数的值域．