Question

点F（c，0）为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P在双曲线上，线段PF与圆（x-

c

3

）²+y²=

b2

9

相切于点Q，且

PQ

=2

QF

，则双曲线的离心率等于（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  5

• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的左焦点为F₁，确定PF₁⊥PF，|PF₁|=b，|PF|=2a+b，即可求得椭圆的离心率．

解答： 解：设双曲线的左焦点为F₁，连接F₁，设圆心为C，则
∵（x-

c

3

）²+y²=

b2

9

，
∴圆心坐标为（

c

3

，0），半径为r=

b

3

∴|F₁F|=3|FC|
∵

PQ

=2

QF

，
∴PF₁∥QC，|PF₁|=b
∴|PF|=2a-b
∵线段PF与圆（x-

c

3

）²+y²=

b2

9

（其中c²=a²+b²）相切于点Q，
∴CQ⊥PF
∴PF₁⊥PF
∴b²+（2a+b）²=4c²
∴b²+（2a+b）²=4（a²+b²）
∴b=2a，
∴c=

5

a
∴e=

c

a

=

5

故选：C．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键．