Question

已知函数①y₁=sinx+cosx，②y₂=2

2

sinxcosx，则下列结论正确的是（　　）

• A、两个函数的图象均关于点（-

  π

  4

  ，0）成中心对称
• B、两个函数的图象均关于直线x=-

  π

  4

  对称
• C、两个函数在区间（-

  π

  4

  ，

  π

  4

  ）上都是单调递增函数
• D、函数y=y₁-y₂在区间（

  π

  4

  ，

  π

  2

  ）上有零点

Answer 1

考点：二倍角的正弦,正弦函数的对称性

专题：三角函数的图像与性质

分析：化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性，可得 A、B不正确，C 正确，再根据y₁=y₂在区间（

π

4

，

π

2

）上不会成立，可得D不正确，从而得出结论．

解答： 解：由于函数①y₁=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），②y₂=2

2

sinxcosx=

2

sin2x，
显然，函数①的图象关于点（-

π

4

，0）成中心对称，函数②的图象关于直线x=-

π

4

对称，故排除A、B．
由于两个函数在区间（-

π

4

，

π

4

）上都是单调递增函数，故C满足条件．
令y₁=y₂，可得方程sin（x+

π

4

）=sin2x，由于此方程在区间（

π

4

，

π

2

）上不会成立，故函数y=y₁-y₂在区间（

π

4

，

π

2

）上无零点，
故排除D，
故选：C．

点评：本题考查正弦函数的单调性，对称性，化简这两个函数的解析式，是解题的突破口，属于基础题．