Question

已知定义x∈[-1，1]在偶函数f（x）满足：当x∈[0，1]时，f（x）=x+2

2-x

，函数g（x）=ax+5-2a（a＞0），
（1）求函数f（x）在x∈[-1，1]上的解析式：
（2）若对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有g（x₂）＞f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）可设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，可得到f（-x），然后利用奇偶性得到f（x），再合并成分段函数的形式给出结果；
（2）结合图象分析：只需g（x）_min≥f（x）_max，然后再分别求出两函数相应的最值即可．

解答： 解：（1）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，结合函数f（x）是[-1，1]上的偶函数，
所以f（x）=f（-x）=-x+2

2+x

，所以f(x)=

x+2 2-x ，x∈[0，1] -x+2 2+x ，x∈[-1，0]

．
（2）因为对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有g（x₂）＞f（x₁）成立，则只需g（x）_min≥f（x）_max，
又因为y=f（x），x∈[-1，1]是偶函数，所以f（x）的值域就是f（x）在[0，1]值域．
而当x∈[0，1]时，f（x）=x+2

2-x

，令t=

2-x

∈[1，

2

]，
原函数化为y=-t²+2t+2=-（t-1）²+3，t∈[1，

2

]，显然t=1时f（x）_max=3，
又因为g（x）_min=-3a+5，则由题意得

a＞0 -3a+5＞3

，
解得0＜a＜

2

3

即为所求．

点评：本题的第二问实际上是与两个函数有关的恒成立问题，这种类型一般分别求出两个函数的最值，然后列出不等式求解．