题目内容
已知
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜π，0＜β＜π．
（1）求证：
+
与
-
互相垂直；
（2）若k
+
与
-k
的长度相等，求证：tanα•tanβ=-1（k为非零常数）．
| a |
| b |
（1）求证：
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）若k
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）首先计算
+
与
-
的积，如果等于0，则互相垂直；
（2）利用长度相等即模相等，得到关于k，α，β的等量关系，求出α，β的关系，得到它们的正切值关系即可．
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）利用长度相等即模相等，得到关于k，α，β的等量关系，求出α，β的关系，得到它们的正切值关系即可．
解答：
证明：（1）
+
）（
-
）=
2-
2=cos2α+sin2α-cos2β-sin2β=1-1=0，
所以
+
与
-
互相垂直；
（2）因为k
+
与
-k
的长度相等，所以|k
+
|=|
-k
|，
所以（kcosα+cosβ）2+（ksinα+sinβ）2=（cosα-kcosβ）2+（sinα-ksinβ）2，
整理得，4kcos（α-β）=0，k为非零常数，
所以α-β=kπ+
，
α=β+kπ+
，
tanα•tanβ=tan（β+kπ+
）•tanβ=-cotβtanβ=-1．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
所以
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）因为k
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
所以（kcosα+cosβ）2+（ksinα+sinβ）2=（cosα-kcosβ）2+（sinα-ksinβ）2，
整理得，4kcos（α-β）=0，k为非零常数，
所以α-β=kπ+
| π |
| 2 |
α=β+kπ+
| π |
| 2 |
tanα•tanβ=tan（β+kπ+
| π |
| 2 |
点评：本题考查了向量的运算以及三角函数的基本关系式的运用，属于中档题．
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如图，直角△ABC的斜边AB=2函数y=3
的值域为（ ）
| 1 |
| x-1 |
| A、（0，+∞） |
| B、（0，1）∪（1，+∞） |
| C、{x|x≠1} |
| D、（1，+∞） |
如图为函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+c（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π）图象的一部分．