Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AC⊥BB₁，AB=A₁B=AC=1，BB₁=

2

．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）若P是棱B₁C₁的中点，求二面角P-AB-A₁的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥平面ABB₁A₁，从而AC⊥A₁B，由勾股定理得A₁B⊥AB，从而能证明A₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）以B为原点，以BC，BA，BB₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-A₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AC⊥BB₁，
又AB∩BB₁=B，∴AC⊥平面ABB₁A₁，
又A₁B?平面ABB₁A₁，∴AC⊥A₁B，
∵AB=A₁B=AC=1，BB₁=

2

，
∴AB2+A1B2=AA12，∴A₁B⊥AB，
又AC∩AB=A，∴A₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：以B为原点，以BC，BA，BB₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=A₁B=AC=1，BB₁=

2

，
∴B₁（1，0，1），C₁（

2

+1，0，1），
P（

2

2

+1，0，1），A（0，1，0），B（0，0，0），
A₁（0，0，1），

BA

=（0，1，0），

BP

=（

2

2

+1，0，1），
设平面ABP的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BP =( 2 2 +1)x+z=0 n • BA =y=0

，取x=1，得z=-1-

2

2

，
∴

n

=（1，0，-1-

2

2

），又平面ABA₁的法向量

m

=（1，0，0），
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

1

1+(-1- 2 2 )2

=

34

17

．
∴二面角P-AB-A₁的余弦值为

34

17

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．