Question

20．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a²+b²+c²=1，m²+n²+p²=1．
（Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）若abc≠0，证明$\frac{{m}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{4}}{{b}^{2}}$+$\frac{{p}^{4}}{{c}^{2}}$≥1．

Answer 1

分析 利用柯西不等式，即可证明结论．

解答 证明：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（a²+b²+c²）（m²+n²+p²）≥（am+bn+cp）²，
∵a²+b²+c²=1，m²+n²+p²=1，
∴1≥（am+bn+cp）²，
∴|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）由柯西不等式，可得$\frac{{m}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{4}}{{b}^{2}}$+$\frac{{p}^{4}}{{c}^{2}}$=（$\frac{{m}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{4}}{{b}^{2}}$+$\frac{{p}^{4}}{{c}^{2}}$）（a²+b²+c²）≥（m²+n²+p²）²=1，
∴$\frac{{m}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{4}}{{b}^{2}}$+$\frac{{p}^{4}}{{c}^{2}}$≥1．

点评 本题考查柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．