题目内容
5．二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad=bc时取等号．（1）证明二维形式的柯西不等式；
（2）利用柯西不等式，求函数y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值．
分析 （1）用作差比较法证明（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立．
（2）利用柯西不等式求得y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$=3$\sqrt{x-1}$+2$\sqrt{5-x}$≤$\sqrt{（9+4）（x-1+5-x）}$=2$\sqrt{13}$，可得函数y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值．
解答 （1）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2 =a2d2-2adbc+b2c2=（ad-bc）2≥0，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立，当且仅当ad=bc时取得等号．
（2）解：y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$=3$\sqrt{x-1}$+2$\sqrt{5-x}$≤$\sqrt{（9+4）（x-1+5-x）}$=2$\sqrt{13}$，
∴函数y=3$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{20-4x}$的最大值为2$\sqrt{13}$．
点评 本题主要考查用作差比较法证明不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．
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16．
某校为了了解高三学生日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位学生进行调查．下表是这50位同学睡眠时间的频率分布表：（1）根据所给数据，求众数和中位数；（2）现根据如下算法流程图用计算机统计平均睡眠时间，则判断框①中应填入什么条件？（3）若从第1组和第5组中随机取出2个数据，求相应的两个同学的睡眠时间差的绝对值大于1小时的概率
某校为了了解高三学生日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位学生进行调查．下表是这50位同学睡眠时间的频率分布表：（1）根据所给数据，求众数和中位数；（2）现根据如下算法流程图用计算机统计平均睡眠时间，则判断框①中应填入什么条件？（3）若从第1组和第5组中随机取出2个数据，求相应的两个同学的睡眠时间差的绝对值大于1小时的概率| 组别（i） | 睡眠时间 | 组中值（Zi） | 频数 | 频率（Pi） |
| 1 | [4.5，5.5） | 5 | 2 | 0.04 |
| 2 | [5.5，6.5） | 6 | 6 | 0.12 |
| 3 | [6.5，7.5） | 7 | 20 | 0.40 |
| 4 | [7.5，8.5） | 8 | 18 | 0.36 |
| 5 | [8.5，9.5） | 9 | 3 | 0.06 |
| 6 | [9.5，10.5） | 10 | 1 | 0.02 |
13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}x+1，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若方程f（x）-ax=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （0，$\frac{1}{3}$） | B． | [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$） | C． | （$\frac{1}{e}$，$\frac{4}{3}$] | D． | （-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞） |