Question

【题目】已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行．

(1)求的值及函数的单调区间；

(2)若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小．

Answer 1

【答案】（1）a=2,在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．（2）x1＋x2＜2ln 2

【解析】

(1)由导数的几何意义得到，求出a的值，再求函数的单调区间.(2) 令g(x)＝ (x)－(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，

利用导数得到函数g(x) 在(ln 2，＋∞)上单调递增，即(x)＞(2ln 2－x)，不妨设x1＜ln 2＜x2，所以(x2)＞(2ln 2－x2)，再证明x1＋x2＜2ln 2．

(1)由，

得．且f(x)与y轴交于A(0.0)

所以，所以a=2，

所以,．

由＞0，得x＞ln 2．

所以函数在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．

(2)证明：设x＞ln 2，所以2ln 2－x＜ln 2，

(2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1

＝＋2x－4ln 2－1．

令g(x)＝ (x)－(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，

所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，

当且仅当x＝ln 2时，等号成立，

所以g(x)＝(x)－(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．

又g(ln 2)＝0，所以当x＞ln 2时，g(x)＝(x)－(2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0，

即(x)＞(2ln 2－x)，不妨设x1＜ln 2＜x2，所以(x2)＞(2ln 2－x2)，

又因为(x1)＝(x2)，所以(x1)＞(2ln 2－x2)，

由于x2＞ln 2，所以2ln 2－x2＜ln 2，

因为x1＜ln 2，由(1)知函数y＝(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减，

所以x1＜2ln 2－x2，

即x1＋x2＜2ln 2．