Question

【题目】已知函数.

（1）当时，判断在上的单调性并加以证明；

（2）若，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在为增函数；证明见解析（2）

【解析】

（1）令，求出，可推得，故在为增函数；

（2）令，则，由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数的取值范围.

（1）当时，.

记，则，

当时，，.

所以，所以在单调递增，所以.

因为，所以，所以在为增函数.

（2）由题意，得，记，则，

令，则，

当时，，，所以，

所以在为增函数，即在单调递增，

所以.

①当，，恒成立，所以为增函数，即在单调递增，

又，所以，所以在为增函数，所以

所以满足题意.

②当，，令，，

因为，所以，故在单调递增，

故，即.

故，

又在单调递增，

由零点存在性定理知，存在唯一实数，，

当时，，单调递减，即单调递减，

所以，此时在为减函数，

所以，不合题意，应舍去.

综上所述，的取值范围是.