Question

【题目】已知，为抛物线上的相异两点，且.

（1）若直线过，求的值；

（2）若直线的垂直平分线交轴与点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，计算可得所求值；

（2）设线段的中点为，，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，以及直线方程，可得的坐标，

设出直线的方程代入抛物线方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，化简整理，结合基本不等式可得所求最大值．

解：（1）当垂直于轴或斜率为零时，显然不符合题意，所以可设直线的方程为，

代入方程，得

故

，

结合解得.

因此，.

（2）设线段的中点为，，

则，，．

线段的垂直平分线的方程是，①

由题意知，是①的一个解，

所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，

且点坐标为．

直线的方程为，

即，②

②代入得，即，③

依题意，，是方程③的两个实根，且，

所以△，即．，，

，

点到线段的距离，

．

当且仅当，即时，上式取得等号．

所以面积的最大值为．