Question

8．已知函数f（x）=e^x-ax+a（a∈R），其中e为自然对数的底数．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，证明：x₁+x₂＜2lna．

Answer 1

分析 （1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可求得y=f（x）的单调区间；
（2）由（1）可知，不妨设1＜x₁＜x₂，代入e^x-ax+a=0，作差，要证x₁+x₂＜2lna，即证${e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}＜a$，即证$\frac{{{e^{\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}}}-{e^{-\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}}}}}{{{x_2}-{x_1}}}＞1$，令$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=t＞0$，则（*）式化为  e^t-e^-t＞2t，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得g（t）＞g（0）=0．则x₁+x₂＜2lna．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-ax+a，求导，f'（x）=e^x-a．
①当a≤0时，f'（x）＞0，则函数f（x）为R上的单调递增函数．
②当a＞0时，令f'（x）=0，则x=lna．
若x＜lna，则f'（x）＜0，f（x）在（-∞，lna）上是单调减函数；
若x＞lna，则f'（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上是单调增函数．
（2）证明：由（Ⅰ）可知，不妨设1＜x₁＜x₂，
由$\left\{\begin{array}{l}{e^{x_1}}-a{x_1}+a=0\;\\{e^{x_2}}-a{x_2}+a=0\;\end{array}\right.$两式相减得$a=\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{x_2}-{x_1}}}$．
要证x₁+x₂＜2lna，即证${e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}＜a$，
也就是证${e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}＜\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
即${e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}-\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{x_2}-{x_1}}}={e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}（1-\frac{{{e^{\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}}}-{e^{-\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}}}}}{{{x_2}-{x_1}}}）＜0$，即证$\frac{{{e^{\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}}}-{e^{-\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}}}}}{{{x_2}-{x_1}}}＞1$，
又x₂-x₁＞0，只要证${e^{\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}}}-{e^{-\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}}}＞{x_2}-{x_1}$（*）．
令$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=t＞0$，则（*）式化为  e^t-e^-t＞2t，
设g（t）=（e^t-e^-t）-2t（t＞0）
，g'（t）=（e^t+e^-t）-2＞0，所以g（t）在（0，+∞）上单调递增，所以g（t）＞g（0）=0．
∴x₁+x₂＜2lna．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性区间及最值，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．