Question

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图象必有一个对称中心．判断其图象的对称中心的流程图如图所示．对于函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，
①其对称中心为

 

；
②计算f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+f（

4

2015

）+…+f（

2014

2015

）=

 

．

Answer 1

考点：程序框图

专题：等差数列与等比数列,算法和程序框图

分析：由题意，对已知函数两次求导得图象关于某一点（a，b）对称，即f（x）+f（2a-x）=2b，要求的式子可用倒序相加法求解，共有1007个2b，从而求出答案．

解答： 解：①根据题意，模拟程序框图的运行过程，知
∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，∴g（x）=f′（x）=x²-x+3，
∴h（x）=g′（x）=2x-1；
当h（x）=0时，即2x-1=0，
解得x=

1

2

，
∴f（

1

2

）=1；
∴（

1

2

，1）是f（x）的对称中心．
②由①知，f（x）+f（1-x）=2，
∴f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+f（

4

2015

）+…+f（

2014

2015

）
=[f（

1

2015

）+f（

2014

2015

）]+[f（

2

2015

）+f（

2013

2015

）]+…+[f（

1007

2015

）+f（

1008

2015

）]
=2×1007=2014．
故答案为：(

1

2

，1)，2014．

点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应根据题意，对已知函数两次求导，得出函数图象的对称中心（a，b）以及f（x）+f（2a-x）=2b，由此求出数列的和，是综合题目．