Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M、N分别为AD、CC₁的中点，O为上底面A₁B₁C₁D₁的中心，则三棱锥O-MNB的体积是

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥O-MNB的体积．

解答： 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意得O（1，1，2），M（1，0，0），
B（2，2，0），N（0，2，1），

MO

=（0，1，2），

MB

=（1，2，0），

MN

=（-1，2，1），
|

MB

|=

1+4

=

5

，|

MN

|=

1+4+1

=

6

，
cos＜

MB

，

MN

＞=

-1+4+0

5 • 6

=

30

10

，
sin＜

MB

，

MN

＞=

1-( 30 10 )2

=

70

10

，
∴S_△MNB=

1

2

|

MB

|•|

MN

|•sin＜

MB

，

MN

＞
=

1

2

×

5

×

6

×

70

10

=

21

2

，
设平面MNB的法向量

n

=（x，y，z），
则

MB • n =x+2y=0 MN • n =-x+2y+z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，4），
∴点O到平面MNB的距离d=

| MO • n |

| n |

=

|0-1+8|

4+1+16

=

21

3

，
∴三棱锥O-MNB的体积V=

1

3

×S△MNB×d=

1

3

×

21

2

×

21

3

=

7

6

．
故答案为：

7

6

．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．