Question

设函数f（x）=

ablnx

x

，g（x）=-

1

2

x+（a+b）（其中e为自然对数的底数，a，b∈R且a≠0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=ae（x-1）．
（1）求b的值；
（2）若对任意x∈[

1

e

，+∞），f（x）与g（x）有且只有两个交点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′(x)=

ab(1-lnx)

x2

，从而可得f′（1）=ab=ae，从而解得；
（2）令h(x)=x(f(x)-g(x))=

1

2

x2-(a+e)x+aelnx，则任意x∈[

1

e

，+∞)，f（x）与g（x）有且只有两个交点可化为函数h（x）在[

1

e

，+∞)有且只有两个零点．求导h′(x)=

(x-a)(x-e)

x

，从而分类讨论求a的取值范围．

解答： 解：（1）由f(x)=

ablnx

x

，得f′(x)=

ab(1-lnx)

x2

，
由题意得f′（1）=ab=ae，
∵a≠0，∴b=e，
（2）令h(x)=x(f(x)-g(x))=

1

2

x2-(a+e)x+aelnx，
则任意x∈[

1

e

，+∞)，f（x）与g（x）有且只有两个交点，等价于函数h（x）在[

1

e

，+∞)有且只有两个零点．
由h(x)=

1

2

x2-(a+e)x+aelnx，得h′(x)=

(x-a)(x-e)

x

，
①当a≤

1

e

时，由h′（x）＞0得x＞e；由h′（x）＜0得

1

e

＜x＜e．
此时h（x）在(

1

e

，e)上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．
∵h(e)=

1

2

e2-(a+e)e+aelne=-

1

2

e2＜0，
∵h(e2)=

1

2

e4-(a+e)e2+2ae=

1

2

e(e-2)(e2-2a)≥

1

2

e(e-2)(e2-

2

e

)＞0，
∴要使得h（x）在[

1

e

，+∞)上有且只有两个零点，
则只需h(

1

e

)=

1

2e2

-

a+e

e

+aeln

1

e

=

(1-2e2)-2e(1+e2)a

2e2

≥0，
即a≤

1-2e2

2e(1+e2)

；
②当

1

e

＜a＜e时，由h′（x）＞0得

1

e

＜x＜a或x＞e；由h′（x）＜0得a＜x＜e．
此时h（x）在（a，e）上单调递减，在(

1

e

，a)和（e，+∞）上单调递增．
此时h(a)=-

1

2

a2-ae-aelna＜-

1

2

a2-ae+aelne=-

1

2

a2＜0，
∴此时h（x）在[

1

e

，+∞)至多只有一个零点，不合题意；
③当a＞e时，由h′（x）＞0得

1

e

＜x＜e或x＞a，由h′（x）＜0得e＜x＜a，
此时h（x）在(

1

e

，e)和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且h(e)=-

1

2

e2＜0，
∴h（x）在[

1

e

，+∞)至多只有一个零点，不合题意；
综上所述，a的取值范围为(-∞，

1-2e2

2e(1+e2)

]．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．