Question

3．已知函数f（x）=e^x-1-ax（a＞1）在[0，a]上的最小值为f（x₀），且x₀＜2，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，e）
• C． （2，e）
• D． （$\frac{e}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由已知得f′（x）=e^x-1-a，令f′（x）=0，得x=1+lna＞1，令g（a）=a-1-lna，其中a＞1，则g′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$，从而得到g（1）=0，当a＞1时，a＞1+lna，进而得到f（x）在x=1+lna处取得最小值，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=e^x-1-ax（a＞1），
∴f′（x）=e^x-1-a，
令f′（x）=0，解得x=1+lna＞1，
令g（a）=a-1-lna，其中a＞1，则g′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$，
∴g（a） 在（1，+∞）上递增，
又g（1）=1-1-ln1=0，
∴当a＞1时，g（a）=a-1-lna＞0，
即a＞1+lna，
∴当0＜x＜1+lna时，f′（x）＜0，
1+lna＜x＜a时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1+lna处取得最小值，
由x₀=1+lna＜2，得a＜e，
∴实数a的取值范围是（1，e）．
故选：B．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．