Question

20．下面是关于向量的四个命题，其中的真命题为（　　）
p₁：同一组基底下的同一向量的表现形式是唯一的．
p₂：$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$是（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）的充分条件．
p₃：在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，则△ABC为钝角三角形．
p₄：已知|$\overrightarrow{a}$|=2，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{3}{4}$π，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影是$\sqrt{2}$．

• A． p₁，p₂
• B． p₂，p₃
• C． p₂，p₄
• D． p₃，p₄

Answer 1

分析 根据向量基本定理以及向量关系，向量数量积的定义以及向量投影和夹角的定义分别进行计算和判断即可．

解答 解：p₁：同一组基底下的同一向量的表现形式是唯一的，正确，
p₂：若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，则设$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow{a}$，则（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•m$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞•m$\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）=$\overrightarrow{a}$•（m$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$•（m|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，则（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$）成立，故充分性成立，故p₂正确．
p₃：在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＜0，则|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos（π-B）=-|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cosB＜0，则cosB＞0，
则B是锐角，则无法判断△ABC为钝角三角形，故p₃错误．
p₄：已知|$\overrightarrow{a}$|=2，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{3}{4}$π，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影是|$\overrightarrow{a}$|cos$\frac{3}{4}$π=2×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=-$\sqrt{2}$．故p₄错误，
故正确的是p₁，p₂，
故选：A．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及向量的数量积，向量的有关概念和定义的计算，考查学生的计算和推理能力．