Question

12．已知等比数列{a_n}为递增数列，且$a_5^2={a_{10}}$，2（a₁+a₃）=5a₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}={a_n}+{（-1）^n}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）对n分类讨论，利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∴${（{a_1}{q^4}）^2}={a_1}{q^9}$，解得a₁=q．
又∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，∴$2（{a_n}+{a_n}{q^2}）=5{a_n}q$，
则2（1+q²）=5q，2q²-5q+2=0，解得$q=\frac{1}{2}$（舍）或q=2．
∴${a_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}$．
（2）∵${c_n}={（-1）^n}+{2^n}$，n为偶数时，${S_n}=（-1+1-1+…-1+1）+\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}=-2+{2^{n+1}}$；
n为奇数时，${S_n}=（-1+1+…1-1）+\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}=-1-2+{2^{n+1}}={2^{n+1}}-3$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2，n为偶数}\\{{2}^{n+1}-3，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．