Question

【题目】设函数，.

（1）若，讨论的零点个数；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）当时，有唯一零点；当时，有两个零点；（2）证明见解析

【解析】

（1）求得函数的导数，求得当，函数有唯一的零点；

当，利用导数求得函数的单调性与最值，结合最值，即可求解.

（2）令，求得导数，令，得到在有唯一零点，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

（1）由题意，函数，则，

①当，则函数，此时有唯一的零点；

②当，令，可得，

	-	+

所以，最多两个零点，

当时，可得且，所以，

所以，故时，，

所以在有一个零点；

当时，，所以在有一个零点.

综上可知，当时，有唯一零点；当时，有两个零点.

（2）令，

则，

令，可得在是增函数，

且（，

所以在有唯一零点，且，

当时，，在上为减函数，

当时，，在上为增函数，

故，且，

所以，∴，

所以成立.