题目内容
【题目】设抛物线的焦点为
,直线
与抛物线交于
两点.
(1)若过点
,且
,求
的斜率;
(2)若,且
的斜率为
,当
时,求
在
轴上的截距的取值范围(用
表示),并证明
的平分线始终与
轴平行.
【答案】(1);(2)
,证明见解析
【解析】
(1)设直线的方程为
与抛物线方程联立求解,得到
,
,
利用转化求
即可.
(2)直线的方程为
与抛物线方程联立求解,利用根与系数的关系可得
轴上的截距的取值范围;要证明
的平分线与
轴平行,则只需要直线
的斜率互补,即证明
.
解:(1)当直线的斜率不存在时,直线l的方程为
,代入抛物线方程可得
,即
,
所以,
但,故直线
的斜率存在,设其方程为
.
由得
,
设,则
,
所以,
解得,所以直线
的斜率为
.
(2)设直线的方程为
.
由得
,
则.
由,得
.又
,所以
,从而
在
轴上的截距的取值范围为
.
,
所以直线的斜率互补,从而
的平分线始终与
轴平行.
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