题目内容
【题目】若数列满足
,数列
为
数列,记
.
(1)写出一个满足,且
的
数列
;
(2)若,
,证明:
数列
是递增数列的充要条件是
;
(3)对任意给定的整数,是否存在首项为0的
数列
,使得
?如果存在,写出一个满足条件的
数列
;如果不存在,说明理由.
【答案】(1)0,1,0,1,0;(2)证明见解析;(3)见解析
【解析】
(1)根据与
和
可考虑写出
交替的数列.
(2)先证明必要性,根据数列
是递增数列,可得
,进而求得
.再证明充分性,因为
,故
,再累加可得
证明即可.
(3) 设,则
,再累加求得
,再分析
的奇偶,根据整除的性质,先假设存在再证明矛盾即可.
(1)0,1,0,1,0是一个满足条件的数列
.
(2)必要性:因为数列
是递增数列,
所以,
所以是首项为13,公差为1的等差数列.
所以,
充分性:由于,故
,
,
……
,
所以,即
,
又因为,
,
所以,
故,即
是递增数列.
综上所述,结论成立.
(3)设,则
,
因为,
,
……
,
所以
,
因为,所以
为偶数(
)
所以为偶数,
所以要使,必须使
为偶数,
即4整除,亦即
或
,
当时,
数列
的项满足
,
,
,
此时,有且
成立,
当时,
数列
的项满足
,
,
,
时,亦有
且
成立,
当或
时,
不能被4整除,此时不存在数列
,使得
且
成立.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】某省确定从2021年开始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括语文、数学、外语,为必考科目;“1”表示从物理、历史中任选一门;“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门,共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生(其中女生900人)中,采用分层抽样的方法抽取
名学生进行调查.
(1)已知抽取的名学生中含男生110人,求
的值及抽取到的女生人数;
(2)学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的名学生进行问卷调杳(假定每名学生在这两个科目中必须洗择一个科目且只能选择一个科目).下表是根据调查结果得到的
列联表,请将列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;
性别 | 选择物理 | 选择历史 | 总计 |
男生 | 50 | ||
女生 | 30 | ||
总计 |
(3)在(2)的条件下,从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人,再从这6名学生中抽取2人,对“物理”的选课意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.
附:,其中
.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |