Question

【题目】从①前项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．

在数列中，，_______，其中．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若成等比数列，其中，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】选择①：（Ⅰ）；（Ⅱ）5．

选择②：（Ⅰ）；（Ⅱ）6．

选择③：（Ⅰ）；（Ⅱ）5．

【解析】

（Ⅰ）选择①，由求得的值，再由可求得数列的通项公式；

选择②，可知数列是以为公差的等差数列，进而可求得数列的通项公式；

选择③，可知数列是等差数列，求出公差的值，进而可求得数列的通项公式；

（Ⅱ）由可得出关于的表达式，进而可求得的最小值．

选择①：（Ⅰ）当时，由，得.

当时，由题意，得，所以．

经检验，符合上式，所以；

（Ⅱ）由、、成等比数列，得，即．

化简，得，

因为、是大于的正整数，且，所以当时，有最小值．

选择②：（Ⅰ）因为，所以．

所以数列是公差的等差数列.

所以；

（Ⅱ）由、、成等比数列，得，即．

化简，得，

因为、是大于的正整数，且，所以当时，取到最小值；

选择③：（Ⅰ）由，得，所以数列是等差数列，

设等差数列的公差为，又因为，，所以.

所以；

（Ⅱ） 因为、、成等比数列，所以，即．

化简，得，

因为、是大于的正整数，且，所以当时，有最小值．