Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，$\sqrt{3}$cosθ），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，其中θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）求θ的值；
（2）若cos（ω-θ）=$\frac{3}{5}$，0＜ω＜$\frac{π}{2}$，求sinω的值．

Answer 1

分析 （1）直接结合向量垂直的条件建立等式，确定所求的角度即可；
（2）首先，根据所给角度，确定-$\frac{π}{3}$＜ω-$\frac{π}{3}$＜0，然后，拆分角度sinω=sin[（ω-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]，然后，结合有关两角和的正弦公式求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinθ，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，$\sqrt{3}$cosθ），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$cosθ-sinθ=0，
∴tanθ=$\sqrt{3}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∴θ=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cos（ω-θ）=$\frac{3}{5}$，0＜ω＜$\frac{π}{2}$，
∵θ=$\frac{π}{3}$，∴-$\frac{π}{3}$＜ω-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{6}$，
∵cos（ω-θ）=$\frac{3}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-$\frac{π}{3}$＜ω-$\frac{π}{3}$＜0，
∴sin（$ω-\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴sinω=sin[（ω-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]
=sin（ω-$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（ω-$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$
∴sinω的值$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$．

点评 本题重点考查了三角函数的性质、三角恒等变换公式、角度的灵活拆分等知识，属于高考热点问题，需要引起高度关注，属于中档题．