Question

8．已知a＞0，f（x）=a²lnx-x²+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为[e+1，$\frac{\sqrt{{6（e+1）}^{2}+2}-e}{2}$]．

Answer 1

分析 利用导数可求得f（x）的单调区间，由f（1）=-1+a≥e可得a≥e+1，从而可判断f（x）在[1，e]上的单调性，得到f（x）的最大值，令其小于等于3e+2可得答案．

解答 解：f′（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$-2x+a=$\frac{-（2x+a）（x-a）}{x}$，
∵x＞0，又a＞0，
∴x∈（0，a）时f′（x）＞0，f（x）递增；
x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．
又f（1）=-1+a≥e，
∴a≥e+1，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴最大值为f（e）=a²-e²+ae≤3e+2，
解得：a≤$\frac{\sqrt{{6（e+1）}^{2}+2}-e}{2}$，
又a≥e+1，而e+1＜$\frac{\sqrt{{6（e+1）}^{2}+2}-e}{2}$，
∴a的取值集合是[e+1，$\frac{\sqrt{{6（e+1）}^{2}+2}-e}{2}$]，
故答案为：[e+1，$\frac{\sqrt{{6（e+1）}^{2}+2}-e}{2}$]．

点评 该题考查函数恒成立问题、利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想，利用f（1）=-1+a≥e得a的范围是解题关键．