Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线C于，两点．

（Ⅰ）当时，求的值；

（Ⅱ）过点A作抛物线准线的垂线，垂足为E，过点B作EF的垂线，交抛物线于另一点D，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.

【解析】

（Ⅰ）求出焦点坐标，设出方程，联立方程，结合韦达定理可求的值；

（Ⅱ）先求出直线的方程，结合弦长公式求出，利用点到直线的距离求出的高，表示出的面积，结合基本不等式可得最小值.

（Ⅰ）由题意知，设直线AB的方程为，

联立消去x得．

由根与系数的关系得．当时，．

（Ⅱ）设，，则，

由（Ⅰ）知，所以．

因为，，所以．

所以直线BD的方程为，即．

联立方程组得消去x得，

所以，．

，

所以．

设点A到BD的距离为d，则．

所以，

当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为16．