Question

【题目】如图所示,平面多边形中,AE=ED,AB=BD,且,现沿直线,将折起,得到四棱锥.

(1)求证: ;

(2)若,求PD与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）正弦值为.

【解析】试题分析：(1)取的中点,连,由题意可得且,则有平面,可得结论;(2)法一:以O为坐标原点,OB, OD, OP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出平面PAB的一个法向量,再利用向量的夹角公式求解即可；法二:利用等积法:由得= ,求出点D到平面PAB的距离为h,设PD与平面所成角为,则===.

解析：

(1)证明:取的中点,连,

∵,即,

∴且,

又,

∴平面,

而平面,

∴.

(2)∵OP=1,OB=2,

,

∴,

∴OP、OB、OD两两互相垂直,

以O为坐标原点,OB, OD, OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,

则,

,

设为平面PAB的一个法向量,则

由,

令则得,

∴,

设PD与平面所成角为,

则====,

故,

即PD与平面所成角的正弦值为.