Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知为椭圆的上顶点，P为椭圆E上异于上、下顶点的一个动点．当点P的横坐标为时，．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设M为x轴的正半轴上的一个动点．

①若点P在第一象限内，且以AP为直径的圆恰好与x轴相切于点M，求AP的长．

②若，是否存在点N，满足，且AN的中点恰好在椭圆E上？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在点满足题意．

【解析】

（1）根据题意可知，可求出P点坐标，代入方程求出即可;

（2）①设,则可表示出圆心坐标可设为，，根据圆的性质及点P在椭圆上列出方程组求解即可；

②设，，根据， AN的中点恰好在椭圆E上，且得到点坐标，即可求解.

（1）因为是椭圆E的上顶点，所以．

当点P的横坐标为时，．

设，则，解得，

所以椭圆E的标准方程为．

（2）①设，则以AP为直径的圆的圆心坐标可设为．

又因为，所以．

因为，所以，

得．

因为点P在椭圆E上，所以，

与联立解得（负值舍去），

所以．

②设，．

因为，

所以，

解得，

所以AN的中点坐标为

因为AN的中点在椭圆E上，

所以．（*）

因为，所以．

因为点P在椭圆E上，

所以，（**）

与联立消去得

．

又因为，所以，

代入（*）式和（**）式得

消去m得．

又因为．所以，

代入（**）式和，

解得（负值舍去），

故．

综上，存在点，满足

且AN的中点恰好在椭圆E上．