Question

【题目】已知函数.（其中为自然对数的底数）

（1）当时，是否存在唯一的的值，使得？并说明理由；

（2）若存在，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）存在唯一的，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式得，利用导数求得函数的最小值为，由可得出结论；

（2）设，利用导数求得当时，，由题意得出，利用参变量分离法得出，构造函数，利用导数求得函数的最小值，由此可求得实数的取值范围.

（1）当时，，该函数的定义域为，.

令，得.

当时，；当时，.

所以，函数在上是减函数，在上是增函数.

所以是函数的极小值点，也是函数的最小值点，即，

故存在唯一的，使得；

（2）设，则.

①先探究对任意的恒成立.

若，则，函数在上是减函数，

又，此时，不合题意；

若，当时，；当时，.

所以，函数在上是减函数，在上是增函数.

所以是的极小值点，也是的最小值点，

即；

②再来探究：存在，使得成立.

分离変量得：存在，使得成立.

设，则.

令，当时，函数单调递增.

，当时，，则；当时，，则.

所以，函数在上为减函数，在上为增函数.

所以，，.

故实数的取值范围是.