Question

【题目】设{an}是各项都为整数的等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设cn＝log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn， .

（i）求Tn；

（ii）求证：2.

Answer 1

【答案】（1），，（2）（i）n3（ii）证明见解析；

【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；

（2）（i）运用对数的运算性质和等差数列的求和公式可得，an2﹣n﹣1+2i，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和；

（ii）推得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证.

解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由，，，可得，

解得d＝2，q＝2或d，q＝5，

由于{an}是各项都为整数的等差数列，所以d＝2，q＝2，

从而，，；

（2）（i）∵log2bn＝log22n﹣1＝n﹣1，

∴cn＝0+1+2+…+（n﹣1）n（n﹣1），

∴a2（i）﹣1＝n2﹣n﹣1+2i，

∴Tn＝（n2﹣n﹣1+2）+（n2﹣n﹣1+4）+…+（n2﹣n﹣1+2n）

＝n（n2﹣n﹣1）+（2+4+…+2n）＝n（n2﹣n﹣1）+n（n+1）＝n3；

（ii）证明：

，

而，

∴，

∴

＝1，

由于0，

可得12.

则.