Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=3a_n+2．
（Ⅰ）证明{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=3a_n+2可变形为a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比数列的定义与通项公式即可得出．
（Ⅱ）由3ⁿ-1≥2•3^n-1，$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{3^n}-1}}≤\frac{1}{{2•{3^{n-1}}}}$，利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 证明：（Ⅰ）由a_n+1=3a_n+2可变形为a_n+1+1=3（a_n+1），
∴{a_n+1}是首项为a₁+1=3，公比为3的等比数列．
∴，${a_n}+1=3•{3^{n-1}}={3^n}$，
∴${a_n}={3^n}-1$．
（Ⅱ）∵3ⁿ-1≥2•3^n-1，$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{3^n}-1}}≤\frac{1}{{2•{3^{n-1}}}}$，
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}$$≤\frac{1}{2}+\frac{1}{{2•{3^1}}}+\frac{1}{{2•{3^2}}}+…+\frac{1}{{2•{3^{n-1}}}}$=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{3^{n-1}}}}）=\frac{1}{2}•\frac{{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}}{{1-\frac{1}{3}}}$=$\frac{3}{4}[1-{（\frac{1}{3}）^n}]$$＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、递推关系、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．